Corsi e ricorsi nel mondo animale – le equazioni di Lotka-Volterra

Galileo Galilei nel Saggiatore scriveva: “io veramente stimo il libro della filosofia esser quello che perpetuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi; ma perché è scritto in caratteri diversi da quelli del nostro alfabeto, non può esser da tutti letto: e sono i caratteri di tal libro triangoli, quadrati, cerchi, sfere, coni, piramidi ed altre figure matematiche, attissime per tal lettura”. In altre parole il grande scienziato afferma che la natura esprime le sue leggi utilizzando un linguaggio matematico fatto di enti geometrici e non solo che ne conferiscono un carattere di estrema razionalità.

D’altra parte lo stesso Platone, molti secoli prima, sconsigliava l’ingresso nella sua Accademia a chi non conosceva la geometria.

Eppure nemmeno Galileo, che pure aveva intuito la possibilità e soprattutto la necessità di esprimere i principi della fisica mediante formule numeriche, immaginava fino a che punto la matematica è protagonista non solo nel modo non vivente ma anche in quello delle creature dotate di vita biologica.

In questo articolo si affronta un argomento a mio parere affascinante perché le leggi che lo regolano si possono applicare anche in ambiti totalmente differenti: il rapporto tra preda e predatore nel mondo animale.

Ciò che sembra un caotico susseguirsi di inseguimenti, agguati e fughe in cui c’è un animale che cerca di mangiarne un altro che mette in atto tutte le strategie di cui dispone per sfuggire a una simile sorte, è invece un mirabolante esempio di quali delicati e stupefacenti equilibri regolino i rapporti tra viventi.

Tali equilibri sono talmente complessi che è necessario, nel momento in cui si costruisce un modello matematico, operare delle semplificazioni che, seppure non riproducono in maniera totalmente fedele ciò che accade in natura, costituiscono comunque una accettabile ma necessaria approssimazione che ne consente l’elaborazione e lo studio.

I limiti del modello, che prende il nome di modello preda predatore, messo a punto in maniera indipendente da due matematici, Alfred J. Lotka e Vito Volterra, prevedono che in un certo habitat ci siano solo due specie animali: una costituisce l’unica fonte di nutrimento per l’altra e la sua variazione demografica dipende solo dal numero di individui che vengono predati, tanto che, in mancanza del predatore, in teoria potrebbe subire un incremento all’infinito. Si tratta evidentemente di limitazioni molto rilevanti che comunque non diminuiscono l’importanza delle conclusioni raggiunte.

Se indichiamo con y(t) e x(t) rispettivamente il numero di predatori e prede presenti in un certo istante t è possibile costruire il sistema di equazioni differenziali

 

 

In cui le derivate    e    esprimono i tassi di crescita delle popolazioni di prede e predatori nel tempo, con A, B, C e D numeri positivi esprimenti l’interazione tra le due specie.

Ricordando le premesse limitazioni, possiamo affermare che il numero di individui appartenenti alla popolazione delle prede che saranno divorati è proporzionale al numero di incontri con i predatori che, a sua volta, dipende dalle quantità delle singole popolazioni e quindi dal loro prodotto x(t) · y(t). Inoltre, in un certo tempo, vi è una quantità minima di prede di cui il predatore ha bisogno per sfamarsi e non estinguersi, per cui il suo tasso di crescita è proporzionale anche allo scarto tra il cibo disponibile x(t) e quello necessario alla sopravvivenza che chiameremo m. Avremo allora la seguente equazione:

 
y’(t) = a [x(t) - m] · y(t)
 

dove y’(t), la derivata, esprime il variare della popolazione dei predatori al variare del tempo; ponendo a = C e am = D, l’equazione precedente diventa:

 
y’(t) = [C · x(t) - D] · y(t) con C e D valori positivi.
 

Se ora vogliamo calcolare il tasso di crescita delle prede, mantenendo le limitazioni viste in precedenza, questo sarà uguale al numero di individui nati nell’unità di tempo meno quelli divorati:

 
x’(t) = A · x(t) - B · x(t) · y(t) con A e B valori positivi.
 

Quando il livello di entrambe le popolazioni rimane costante si ha evidentemente una situazione di equilibrio; dal momento che la derivata di una costante è uguale a zero, il sistema di equazioni si può riscrivere nella forma

 

 

Le cui soluzioni sono

 

La prima soluzione corrisponde alla situazione in cui le due specie si sono estinte; la seconda invece indica che il numero di prede nate è esattamente uguale a quello delle prede divorate: tale numero corrisponde alla soglia critica che mantiene in equilibrio la popolazione dei predatori.

E’ possibile analizzare l’andamento delle due popolazioni anche nei momenti in cui non sono in equilibrio adoperando strumenti matematici piuttosto sofisticati che in questa sede non è necessario approfondire. Quello che è interessante riguarda i risultati di questi calcoli, riassunti nel seguente diagramma

 

 

nel quale, come si vede, la linea rossa indica l’andamento della popolazione delle prede e quella blu la variazione dei predatori. Naturalmente si tratta di linearizzazioni di funzioni che non hanno un procedere così regolare, ma la situazione è ben chiara: i predatori prosperano in presenza di abbondanza di prede, ma tale aumento, provocando una diminuzione del cibo a disposizione, causa anche un diminuzione dei predatori stessi che, a sua volta, favorisce di nuovo la crescita delle prede innescando un ciclo di aumento e decremento di entrambe le popolazioni.

Analizzando i singoli picchi, si vede che quello delle prede precede quello del predatore con uno sfasamento che, in una rappresentazione trigonometrica, possiamo definire uguale a  .

Il modello di Lotka-Volterra può costituire un importante strumento di lavoro anche in ambiti completamente diversi dai rapporti preda-predatore; può essere utile per l’elaborazione di modelli che si occupano di studiare l’inquinamento e il riscaldamento globale e in economia.

Tutto ciò mi porta a due conclusioni personali:

 

1 - gli animali conoscono e applicano la matematica

2 - gli animali ci insegnano tante cose e, pertanto, meritano da parte nostra maggiore rispetto