La matematica in medicina - il teorema di Bayes

Il teorema di Bayes (altrimenti noto come formula di Bayes) consente di calcolare la probabilità che una certa causa scateni un evento che si è effettivamente verificato. In medicina trova importante applicazione perché può servire a determinare la probabilità che una persona soffra di una certa patologia per la quale ha effettuato un test di laboratorio risultato negativo o, al contrario, non soffra di quella patologia in presenza però di un risultato positivo; ciò è possibile se sono noti la frequenza con cui la malattia si presenta e l’efficacia dell’analisi eseguita.
 
Prima di inoltrarci nei meandri delle formule matematiche facciamo il quadro della situazione specifica: una persona che può essere ammalata (M+) o sana (M-) esegue, per quella determinata patologia, un test che può risultare positivo (T+) o negativo (T-); il quadro complessivo di tutti gli eventi che si possono verificare è naturalmente il seguente:

Volendo riassumere:

1. Test positivo in presenza della malattia

2. Test negativo in presenza della malattia

3. Test positivo in assenza della malattia

4. Test negativo in assenza della malattia

 

Diamo ora alcune definizioni:

• Si definisce sensibilità la percentuale di positività del test nei soggetti affetti dalla malattia

• Si definisce specificità la percentuale di negatività del test nei soggetti sani

• Si definisce prevalenza la percentuale dei soggetti ammalati, in un certo istante, all’interno della popolazione

 

Rappresentando, secondo lo schema precedente, tali grandezze in termini di probabilità percentuale si ha:

Esprimendo la prevalenza nella forma P(M+), il teorema di Bayes si concretizza nella seguente formula:

Se sostituiamo tenendo conto delle precedenti definizioni la formula diventa:

Tenendo presente che le due forme P(T+|M+) e P(M+|T+) esprimono rispettivamente la probabilità dell’effetto (T+) data la causa (M+) e quella della causa (M+) dato l’effetto (T+), la seconda viene definita valore predittivo del test positivo, ed esprime la probabilità che la malattia sia effettivamente presente in un soggetto positivo al test diagnostico.

 

È inoltre possibile calcolare il valore predittivo del test negativo con la formula:

che diventa:

La patologia medica, in presenza di una malattia, studia il comportamento dei segni (l’effetto data la causa); la clinica medica, invece, si occupa di effettuare la diagnosi di una malattia una volta presenti i segni (la causa dato l’effetto); il teorema di Bayes, consentendo di determinare la probabilità di malattia in caso di positività al test (o la probabilità di assenza di malattia in caso di test negativo), permette non solo l’importante passaggio dalla patologia medica alla clinica medica ma contribuisce anche a stabilire la razionalità dei test di laboratorio da cui, oggi sempre più spesso, dipende la decisione medica.