Una realtà rovesciata - Achille e la tartaruga
Cosa accadrebbe se il nostro Marcel Jacobs, oro olimpico a Tokio sui 100 metri, sfidasse in una gara di corsa una tartaruga dandole un vantaggio? La risposta appare scontata: colmato lo svantaggio iniziale, il velocista supererebbe il piccolo rettile facendogli mangiare la polvere e tagliando per prima il traguardo senza problemi.
E’ l’evidenza più che la ragione a far si che nemmeno per un attimo si possa dubitare dell’esito appena descritto.
Eppure c’è chi nel quinto secolo a.C. ha prospettato una situazione simile arrivando però a una conclusione diametralmente opposta: Zenone di Elea, allievo di Parmenide, pensatore presocratico che Aristotele definisce l’inventore della dialettica.
Eppure c’è chi nel quinto secolo a.C. ha prospettato una situazione simile arrivando però a una conclusione diametralmente opposta: Zenone di Elea, allievo di Parmenide, pensatore presocratico che Aristotele definisce l’inventore della dialettica.
Non essendo ancora nato Jacobs, egli si deve “accontentare” di tirare in ballo il “piè veloce” Achille, invitto guerriero dell’esercito acheo, eroe della guerra di Troia, le cui immortali gesta sono cantate da Omero nell’Iliade.
Zenone immagina una gara tra Achille e una tartaruga in cui il guerriero concede al lento animale un piccolo vantaggio e conclude che, l’eroe greco non raggiungerà mai il suo concorrente. Ma come è possibile?
A questo punto, prima di avventurarci nella spiegazione di Zenone, è bene definire il significato della parola paradosso: dal greco παρά (contro) e δόξα (opinione), si tratta di un ragionamento che, pur fondato su presupposti apparentemente logici, difficili da controbattere sul piano della pura dialettica, arriva a una conclusione assurda che viene confutata dall’evidenza della realtà.
Ed è proprio alla categoria dei paradossi che appartiene la vicenda di Achille e la tartaruga; al via i due concorrenti scattano (nel caso della tartaruga si fa per dire) insieme e mentre Achille colma, nel tempo t1 lo spazio S1 che lo separava alla partenza dalla tartaruga, questa ha percorso uno spazio S2, sicuramente minore del primo ma comunque tale da individuare uno spostamento; mentre l’eroe colma nel tempo t2 lo spazio S2 la tartaruga ha compiuto un ulteriore spostamento S3 che verrà coperto da Achille nel tempo t3 durante il quale però l’animale ha ulteriormente avanzato e così via.
A questo punto, prima di avventurarci nella spiegazione di Zenone, è bene definire il significato della parola paradosso: dal greco παρά (contro) e δόξα (opinione), si tratta di un ragionamento che, pur fondato su presupposti apparentemente logici, difficili da controbattere sul piano della pura dialettica, arriva a una conclusione assurda che viene confutata dall’evidenza della realtà.
Ed è proprio alla categoria dei paradossi che appartiene la vicenda di Achille e la tartaruga; al via i due concorrenti scattano (nel caso della tartaruga si fa per dire) insieme e mentre Achille colma, nel tempo t1 lo spazio S1 che lo separava alla partenza dalla tartaruga, questa ha percorso uno spazio S2, sicuramente minore del primo ma comunque tale da individuare uno spostamento; mentre l’eroe colma nel tempo t2 lo spazio S2 la tartaruga ha compiuto un ulteriore spostamento S3 che verrà coperto da Achille nel tempo t3 durante il quale però l’animale ha ulteriormente avanzato e così via.
Achille, secondo questo ragionamento, si troverebbe nell’impossibilità di colmare il divario dal momento che dovrebbe impiegare un tempo T pari alla somma di infiniti tempi parziali (t1, t2, t3, ..., tn, ...) pur avvicinandosi sempre di più alla tartaruga perché gli spazi si riducono progressivamente.
A questo punto viene da chiedersi come sia possibile che un ragionamento apparentemente ineccepibile sotto il piano formale venga miseramente e inconfutabilmente contraddetto dai fatti.
Paradossalmente, è proprio il caso di dirlo, viene in aiuto della realtà quella che in apparenza sembra la più astratta delle scienze umane, la matematica.
Il povero Zenone infatti non poteva immaginare l’esistenza di serie numeriche composte da infiniti elementi, come quella dei tempi t1, t2, t3, ..., tn, ..., la cui somma è, come per incanto, un numero finito.
Il povero Zenone infatti non poteva immaginare l’esistenza di serie numeriche composte da infiniti elementi, come quella dei tempi t1, t2, t3, ..., tn, ..., la cui somma è, come per incanto, un numero finito.
Una delle serie più famose con questa caratteristica è quella data dai termini
con n che va da uno a infinito. Si ha quindi una serie del tipo:
la cui somma, data dalla formula
è uguale a 1. Tale progressione numerica va sotto il nome di serie geometrica ed è caratterizzata dal rapporto costante tra due termini consecutivi.
Questa costituisce la soluzione matematica di un altro paradosso di Zenone, il paradosso della freccia che non arriva mai al bersaglio.
La sua dimostrazione è abbastanza semplice; definendo S la somma della serie avremo
Questa costituisce la soluzione matematica di un altro paradosso di Zenone, il paradosso della freccia che non arriva mai al bersaglio.
La sua dimostrazione è abbastanza semplice; definendo S la somma della serie avremo
A questo punto, applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni si sottrae S da entrambi i termini ottenendo
che diventa
2S - S = 1
cioè
S = 1
Per spiegare la soluzione del paradosso di Achille e la tartaruga è necessario ricorrere ad una serie più complessa della precedente; volendo risparmiarvi tutti i passaggi, il tempo che Achille impiegherà per colmare il divario sarà:
dove S0 è il punto da cui parte la tartaruga, vA è la velocità di Achille e vT quella della tartaruga.
Il paradosso di Achille e la tartaruga è un esempio emblematico di come con le parole si possono costruire ragionamenti fuorvianti che sembrano invece caratterizzati da una logica cristallina. Fino a quando tali rovesciamenti di fronte coinvolgono solamente situazioni teoriche concepite come esercizi mentali poco male, il problema si pone in tutta la sua drammaticità quando si fa entrare prepotentemente una certa dialettica nella vita reale; in questi casi, e non sono pochi, pur senza arrivare alle situazioni estreme dei paradossi di Zenone, il buon senso, se non l’effettiva realtà delle cose, rischia di essere seriamente compromesso non senza danno per chi ne subisce le conseguenze.
Il paradosso di Achille e la tartaruga è un esempio emblematico di come con le parole si possono costruire ragionamenti fuorvianti che sembrano invece caratterizzati da una logica cristallina. Fino a quando tali rovesciamenti di fronte coinvolgono solamente situazioni teoriche concepite come esercizi mentali poco male, il problema si pone in tutta la sua drammaticità quando si fa entrare prepotentemente una certa dialettica nella vita reale; in questi casi, e non sono pochi, pur senza arrivare alle situazioni estreme dei paradossi di Zenone, il buon senso, se non l’effettiva realtà delle cose, rischia di essere seriamente compromesso non senza danno per chi ne subisce le conseguenze.
Questo argomento è stato trattato anche in un video pubblicato sul mio canale YouTube:
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