Atomi della matematica - il fascino dei numeri primi
Allo stesso modo in cui tutte le sostanze esistenti nell'universo conosciuto sono formate dagli atomi inclusi nella Tavola periodica di Mendeleev possiamo dire che tutti i numeri interi sono generati dal prodotto di entità molto particolari note come "numeri primi".
Si definisce "primo" un numero divisibile solamente per 1 e per se stesso; questa definizione esclude dall'elenco dei numeri primi l'unità: il numero 1 non è infatti considerato primo in quanto non rispetta la condizione di divisibilità per 1 e per se stesso dal momento le due quantità coincidono.
Veramente sorprendente, però, è il fatto che già in epoca preistorica, quindi prima di qualunque testimonianza scritta, l'uomo conoscesse l'importanza dei numeri primi. L'Osso d'Ishango è un reperto risalente al periodo tra il 20.000 e il 18.000 a.C.
Anatomicamente parlando è un osso facente parte dell'arto inferiore di un babbuino e presenta una serie di scalfitture, ritenute rappresentazioni numeriche, raggruppate in tre colonne lungo l'intera lunghezza. La colonna di sinistra riporta tutti i numeri primi compresi tra 10 e 20 (11, 13, 17, 19).
A dimostrazione dell'importanza dei numeri primi c'è che essi sono i protagonisti del Teorema fondamentale dell'aritmetica il quale afferma che ogni numero naturale maggiore di 1 o è un numero primo o si può esprimere come prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione è unica, se si prescinde dall'ordine in cui compaiono i fattori. Questo teorema è stato dimostrato in epoca relativamente recente da Carl Friedrich Gauss ma il suo seme è già presente in Euclide che, nella sua monumentale opera gli Elementi dimostra una proposizione che porta a concludere l'unicità della fattorizzazione.
In ogni caso ad Euclide va l'indubbio merito di aver dimostrato che i numeri primi, a differenza degli atomi della chimica, sono infiniti. La dimostrazione costituisce la proposizione 20 del Libro IX degli Elementi ed è un fulgido esempio di pura genialità per la semplice e , al tempo stesso, ferrea coerenza logica del ragionamento. Prendiamo una lista di numeri primi:
2, 3, 5
Calcoliamo il loro prodotto aggiungendo 1
2 x 3 x 5 + 1 = 31 che è primo
Prendiamo ora un'altra lista di numeri primi:
2, 3, 5, 7, 11, 13
Facciamo la stessa cosa
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 che non è primo
Per lunga che sia la lista originale di numeri primi se si effettuano le operazioni precedenti il numero ottenuto può essere:
1. Un numero primo che non era in lista
2. Un numero non primo che deve contenere fattori primi che non erano nella lista
In tal modo la lista è sempre incompleta a meno che non sia illimitata. Naturalmente Euclide non parla di un elenco infinito, limitandosi ad affermare che, dato un numero naturale n comunque grande, esiste sempre un numero primo maggiore di n. All'epoca, infatti, la parola infinito era un tabù imposto dalla stessa mentalità greca, estremamente a disagio con questo concetto.
Alla ricerca di un algoritmo che consentisse l'individuazione dei numeri primi si sono dedicati alcuni tra i nomi più famosi della storia della matematica. Primo tra questi, in ordine temporale, Eratostene il quale mise a punto un sistema detto Crivello; questo prevede che si scrivano in una tabella tutti i numeri naturali a partire dal 2 e si proceda per eliminazioni successive cancellando prima i multipli di due, poi quelli di tre e così via.
In effetti si tratta di una procedura che per essere efficace dovrebbe continuare indefinitamente ma che non offre una regola matematica in grado di stabilire un criterio con cui i numeri primi si presentano lungo la serie dei numeri naturali.
E non si può dire che non ci abbiano provato; illustri matematici di ogni epoca hanno cercato di dare una spiegazione a quello che Marcus Du Sautoy in un suo libro definisce L'enigma dei numeri primi.
Uno di questi è Pierre de Fermat, noto come il Principe dei dilettanti perché non era un matematico professionista; pur essendo un magistrato la sua preparazione nel campo della matematica lo rende a ragion veduta uno dei più grandi esperti di tutti i tempi della Teoria dei numeri, quella branca che si occupa dello studio degli interi.
Egli elaborò una formula in grado di esprimere, secondo lui, esclusivamente numeri primi, detti numeri di Fermat:
Per esempio:
Purtroppo per lui, però, un altro grande matematico, lo svizzero Leonhard Euler, dimostrò che la formula era inefficace per n > 4. Infatti:
che non è un numero primo essendo scomponibile nel prodotto
Anche un altro francese, Marin Mersenne, più o meno nello stesso periodo elaborò una formula, più semplice di quella di Fermat, con cui credeva di poter determinare solo numeri primi:
Mn = 2n - 1
con n intero positivo primo. Ma anche questa formula è errata in quanto
M67 = 267 – 1 non è un numero primo
M257 = 2257 – 1 non è un numero primo
Durante i suoi studi su una particolare relazione matematica nota come funzione zeta il matematico tedesco Bernhard Riemann ipotizzò una relazione tra alcune entità di detta funzione definite zeri non banali e la distribuzione dei numeri primi.
Ancora oggi l'Ipotesi di Riemann, sebbene siano stai fatti molti passi verso una sua possibile dimostrazione, resta ancora il più importante problema aperto della matematica e fa parte dei Millenium problems, un elenco di sette problemi matematici tuttora irrisolti (tranne uno, la Congettura di Poincaré) per i quali l'Istituto matematico Clay di Cambridge (Massachusetts) offre, a chiunque ne risolva uno, la cifra di 1 milione di dollari.
Tanto per sottolineare l'importanza dell'Ipotesi di Riemann, basti pensare che durante la Seconda guerra mondiale il grande matematico Inglese Alan Turing vi fece ricorso per decrittare il Codice Enigma con cui comunicavano i sottomarini tedeschi U-Boot dando un contributo fondamentale alla vittoria degli alleati sulla Germania nazista.
C'è un altra questione irrisolta riguardante i numeri primi, la Congettura di Goldbach, secondo cui qualunque numero pari maggiore di due (che è l'unico numero primo pari) può essere ottenuto sommando tra loro due numeri primi (anche uguali).
Ritornando alla considerazione con cui è iniziato questo articolo, il paragone tra gli atomi della chimica e i numeri primi, si può fare la seguente riflessione: il termine atomo deriva dal verbo greco "tagliare" preceduto dall'alfa privativo ad indicare ciò che è indivisibile; oggi sappiamo che gli atomi sono formati da subunità e quindi frazionabili; i numeri primi, al contrario, non essendo ulteriormente scomponibili esprimono molto meglio in concetto di indivisibilità. Si può dire allora che i numeri primi sono "più atomi" che gli atomi della chimica.
I numeri primi hanno anche ispirato scrittori e romanzieri; nel 2008 ha visto le stampe il primo romanzo di Paolo Giordano intitolato "La solitudine dei numeri primi". In esso i due protagonisti, Alice e Mattia, due personaggi la cui vita è stata segnata fin dall'infanzia da una serie di tristi vicende, vengono paragonati a due numeri primi gemelli, cioè separati da un solo numero, destinati quindi a essere irrimediabilmente vicini senza però avere mai modo di riuscire a intrecciare le proprie esistenze. Addirittura l'autore sceglie due numeri primi nell'ordine delle migliaia di miliardi: a Mattia assegna il numero 2 760 889 966 649, ad Alice 2 760 889 966 651 che si ottiene sommando 2 al precedente.
Ciò indica che il fascino dei numeri primi va ben oltre le semplici (si fa per dire) considerazioni matematiche. Forse non si riuscirà mai a comprendere in pieno tutto ciò che i numeri primi rappresentano e nascondono ma di certo costituiscono un argomento che ha interessato l'umanità fin dalla sua comparsa su questo pianeta.
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