Così è se vi pare - il V postulato e le Geometrie non euclidee

 

Un postulato o assioma è una affermazione che deve essere ritenuta vera a priori senza bisogno di alcuna dimostrazione.

La Geometria Euclidea, che tutti noi abbiamo studiato nei banchi di scuola, si basa sulla presenza di cinque postulati dai quali si ricavano tutti i teoremi successivi, cioè quelle proposizioni che necessitano di essere dimostrate con un ragionamento logico inconfutabile che prende forma a partire dai postulati e dagli altri teoremi già verificati in precedenza.

I primi quattro postulati esprimono in fondo delle evidenze che è difficile se non impossibile contestare:

1. per due punti distinti di un piano passa una e una sola retta;

2. si può prolungare la retta oltre i due punti indefinitamente;

3. dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;

4. tutti gli angoli retti sono congruenti.

Anche il quinto postulato descrive una situazione abbastanza evidente ma già il fatto che è molto più articolato dei precedenti lo colloca su un piano diverso. Esso recita: “Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti”.

E' chiaro che le rette r ed s si incontreranno dalla parte degli angoli a e b la cui somma, essendo entrambi angoli acuti, è minore di 180° (due angoli retti); esse divergeranno dalla parte opposta essendo gli angoli c e d entrambi angoli ottusi e quindi la loro somma maggiore di 180°.

L'unicità di questo postulati risiede anche nel fatto che può essere enunciato almeno in altri due modi; il primo, se vogliamo, è una diretta conseguenza dell'enunciato principale: "date due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni è pari ad un angolo piatto".

Per non incontrarsi mai le due rette, quando tagliate da una trasversale, devono formare due coppie di angoli (a,b e c,d) detti coniugati interni tali che a + b = c + d = 180°.

L'altro enunciato è invece, almeno in apparenza, scollegato dal primo: "dati una qualsiasi retta r e un punto P non appartenente a essa, è possibile tracciare per P una e una sola retta parallela alla retta data". Questo, noto anche come assioma di Playfair, descrive l'impossibilità di avere due rette distinte, parallele a una retta data, passanti entrambi per un punto esterno ad essa.

Questi due enunciati alternativi hanno fatto si che il quinto postulato sia conosciuto anche come "il postulato delle parallele" perché indicano le condizioni di parallelismo, cioè quali caratteristiche debbano imprescindibilmente avere due rette per essere tra loro parallele.

A ulteriore dimostrazione che il quinto postulato costituisce un mondo a parte è stato introdotto il concetto di Geometria assoluta per indicare l'insieme di tutte quelle regole che possono essere ricavate senza ricorrere ad esso. 

Nel corso dei secoli non pochi matematici, rendendosi conto della particolarità del quinto postulato, hanno cercato di dimostrarlo a partire dai quattro precedenti ma senza successo. A tale proposito è emblematica una lettera che il matematico ungherese Farkas Bolyai scrisse al figlio Janos, anche egli brillante matematico, quando seppe che il giovane aveva intenzione di imbarcarsi nella stessa impresa che al padre non era riuscita: "…per amor del cielo, ti imploro di desistere dal tentativo. Il problema delle parallele è una cosa da temere ed evitare non meno delle passioni dei sensi, poiché anch'esso può rubarti tutto il tuo tempo e privarti della salute, della serenità di spirito e della felicità". 

Come spesso accade però il figlio non diede ascolto al padre e, sebbene neppure lui riuscì nell'intento, diede con le sue ricerche un fondamentale contributo allo sviluppo di nuovi impianti che non tenevano conto del postulato delle parallele e che oggi sono noti come Geometrie non euclidee. 

A questi nuovi impianti si dedicarono matematici di grande caratura tra i quali ricordiamo Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann

I risultati raggiunti non si fecero attendere: queste nuove geometrie non solo rispondevano a criteri di coerenza cristallina, ma aprivano anche la strada a prospettive straordinarie, impensabili quando il solo impianto studiato era quello euclideo. 

Pur mantenendo la validità dei primi quattro postulati, bastò immaginare una condizione non improponibile in cui il quinto non fosse valido per stabilire regole nuove e coerenti che andavano in conflitto con la geometria classica; se per esempio immaginiamo di disegnare un triangolo equilatero su una superficie sferica ci accorgiamo subito che la somma dei suoi angoli interni non è più uguale a 180° come nella geometria di Euclide ma a 270°.

Se pensiamo che la nostra vita si svolge sulla superficie di un pianeta dalla forma quasi sferica le premesse da cui si parte sono tutt'altro che incoerenti. D'altra parte, considerando come linee rette le massime circonferenze individuabili su una sfera, ci si accorge del fatto che non possono esistere parallele perché tutte si incontreranno ai poli tranne l'equatore che comunque, essendo perpendicolare a tutte le altre, non potrà essere parallela a nessuna.

E' facile immaginare quanto sia importante lo sviluppo di un simile impianto geometrico da applicare allo studio delle rotte aeree intercontinentali per ottimizzare tempi di percorrenza e consumi di carburante.

Naturalmente le Geometrie non euclidee non sono arrivate a spazzare via la geometria classica tanto è vero che ancora oggi nelle scuole primarie e secondarie è quest'ultima ad essere studiata. La differenza tra le due quindi non sta nel fatto che una è giusta e l'altra sbagliata ma semplicemente nel fatto che prevedono regole di base differenti. Per capire meglio il concetto basti pensare a due sport molto simili come il rugby e il football americano; entrambi si giocano con un pallone ovale che deve essere portato oltre una linea per segnare dei punti ma questo obiettivo, nelle due discipline, viene realizzato con modalità differenti a causa della diversità del regolamento.

I postulati delle varie geometrie sono allora semplicemente le regole del gioco che servono a stabilire cosa si può dedurre in maniera logica e cosa no. In fondo se ci riferiamo a piccole aree del nostro territorio che possono essere assimilate a strutture piane la Geometria euclidea fornisce un quadro perfettamente rispondente alla realtà, mentre se invece devono essere considerate aree più grandi allora non si può ignorare il fatto che abitiamo un pianeta di forma siml-sferica e dobbiamo guardare altrove se vogliamo trovare regole valide.

In certi casi però non è semplice stabilire la linea di confine oltre il quale un impianto cessa di essere affidabile per far posto agli altri e allora non resta che affidarsi a quell'interpretazione personale così ben espressa dal titolo di una famosa opera teatrale di Luigi Pirandello: "Così è se vi pare". In fondo anche se il relativismo non è certo esente da pericoli (come ho già scritto in uno dei precedenti articoli di questo blog) a volte il ricorrere ad esso può essere uno stimolante esercizio mentale.