Le grandi antinomie (prima parte) - il paradosso del mentitore

Questo è il primo di tre articoli che trattano l'argomento delle antinomie che non solo costituisce una affascinante dimostrazione di come il linguaggio abbia dei limiti che non si possono oltrepassare ma  è anche e soprattutto un'imprescindibile fonte di ispirazione per alcune geniali dimostrazioni matematiche che ricorrono ad esse nelle dimostrazioni per assurdo. 

Si ottiene un'antinomia quando un ragionamento che può essere espresso in termini logico matematici produce un risultato antitetico del tipo "questa cosa è vera solo se non è vera", generando una situazione in cui diventa inapplicabile il principio di non contraddizione. Il termine che, tanto per cambiare deriva dal greco (αντι, preposizione che indica una contrapposizione, e νομος, legge), venne adoperato per la prima volta da Immanuel Kant in campo filosofico.

Il Paradosso del mentitore, probabilmente la più antica e famosa antinomia, è conosciuto anche come Paradosso di Epimenide; una prima formulazione si ritrova nella Lettera a Tito scritta da Paolo di Tarso:

«¹²Uno di loro, proprio un loro profeta, ha detto: «I Cretesi sono sempre bugiardi, brutte bestie e fannulloni». ¹³Questa testimonianza è vera.»  

Il profeta cui Paolo fa riferimento sarebbe Epimenide di Creta il quale quindi afferma che tutti i Cretesi sono dei bugiardi.

Il problema sorge quando si considera che essendo anche lui un abitante dell'isola di Minosse deve essere annoverato tra i mentitori e questo genera una insanabile contraddizione:

        -  se Epimenide dice la verità allora vuol dire che è vero che egli, in quanto cretese, mente

        -  se invece mente, allora contraddicendo la sua affermazione vuol dire che dice la verità

Un'altra forma in cui si può ritrovare il paradosso del mentitore è data da questa semplicissima dichiarazione: 

"Questa affermazione è falsa"

Come dobbiamo ritenere questa frase, veritiera o no? Vi sentireste di premere uno dei due tasti nella maschera di seguito riportata?

In realtà anche nella situazione presente appare evidente l'antinomia:

        -  se la frase è vera vuol dire che è falsa

        -  se la frase è falsa allora è vera

Quello che sembra essere uno sterile gioco di logica fine a se stesso, come già si diceva in apertura di questo articolo, apre la strada alla cosiddetta reductio ad absurdum che si rivelerà un'arma potentissima in mano ai matematici che la sfrutteranno per dimostrare teoremi in cui si dimostra che la negazione dell'ipotesi porterà ad una conclusione assurda e quindi a concludere che l'ipotesi è corretta. Ma questo lo vedremo prossimamente.