Così vicina eppure così lontana - semplicità e difficoltà in matematica

Una delle più belle e sorprendenti caratteristiche della matematica è la possibilità di concepire procedure con operazioni estremamente semplici tanto da essere comprese da chiunque ma estremamente difficili da dimostrare in maniera inequivocabile come invece il rigore logico di questa disciplina impone. 

A riprova di quanto detto vi sono alcune congetture matematiche che ancora oggi restano indimostrate e chissà se un giorno lo saranno; si definisce "congettura" una proposizione, avente per oggetto enti matematici, verificata in una grande quantità di casi cui però manca la totale sicurezza della sua perenne veridicità: solo quando arriva una dimostrazione convincente la congettura viene elevata al rango superiore di "teorema".

Può capitare che, anche dopo la sua dimostrazione, soprattutto se è passato molto tempo dalla sua formulazione, una congettura venga ricordata ancora come tale; un tipico esempio è la Congettura di Poincaré, enunciata nel 1904 e dimostrata nel 2002 dal grande matematico russo Grigorij Jakovlevič Perel'man.

La Congettura di Poincaré è di difficile comprensione per i non addetti ai lavori, ma, come si diceva all'inizio, alcune sono molto più alla portata di chi non ha fatto studi matematici approfonditi; in questo articolo ne riporterò quattro, molto semplici e tutt'ora indimostrate.

La congettura di Goldbach

Nel 1742, il matematico prussiano Christian Goldbach scrisse una lettera a Eulero in cui propose la seguente congettura:

"ogni numero intero maggiore di 5 può essere scritto come somma di tre numeri primi"

Eulero, matematico svizzero considerato il più importante del diciottesimo secolo e tra i più grandi di sempre, interessato dalla questione proposta da Goldbach, ne propose una versione equivalente:

"Ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi".

Per esempio, 20 = 7 + 13; 100 = 41 + 59; 500 = 61 + 439. Quest'ultima versione di Eulero viene anche definita congettura forte di Goldbach.

La congettura di Legendre

Enunciata da Adrien-Marie Legendre, matematico francese a cavallo tra il diciottesimo e il diciannovesimo secolo, allievo di maestri del calibro di Eulero e Lagrange, asserisce che, dato un qualunque numero naturale n maggiore di zero esiste sempre un numero primo compreso fra n² ed (n+1)². Se, per esempio, n = 2 ci sarà certamente un numero primo tra 4 (2 al quadrato) e 9 (2+1 tutto al quadrato); in questo caso ce ne sono addirittura due, cioè 5 e 7.

Questa congettura fa parte dei problemi di Landau che comprendono anche la congettura di Goldbach e, fino ad oggi, non è stata dimostrata.

La congettura di Levy

Questa congettura, come pure le precedenti, fa parte di una branca affascinante e straordinariamente complessa della matematica detta teoria dei numeri. Secondo questa congettura qualunque numero intero dispari maggiore di 5 può essere rappresentato come somma di un numero primo dispari (i numeri primi, ad eccezione di 2, sono tutti dispari) e del doppio di un altro numero primo.

Volendo usare la terminologia matematica si può affermare che se scriviamo l'equazione 

2n + 1 = p + 2q

esistono sempre valori interi di p e q che la soddisfano (non necessariamente distinti) per n maggiore di 2. La notazione 2n + 1 (con n appartenente all'insieme dei numeri naturali) esprime un qualunque numero intero dispari in quanto considerando un qualsiasi numero intero, se lo moltiplichiamo per 2 otterremo un numero pari e se a questo aggiungiamo 1 si avrà necessariamente il numero dispari successivo.

Facciamo un esempio prendendo il numero primo 47; questo si può esprimere come 2 x 23 + 1; avremo allora che

2 x 23 + 1 = 13 + 2 x 17.

In questo caso (che non è l'unico in cui si può scomporre il numero 47 secondo questa congettura) p = 13 e q = 17, i quali sono entrambi numeri primi.

La congettura di Collatz

Proposta per la prima volta nel 1937 dal matematico tedesco Lothar Collatz, prevede il seguente algoritmo:

1) si prenda un numero intero positivo n;

2) se n = 1 l'algoritmo si ferma;

3) se n è pari si divida per 2, altrimenti si moltiplichi per 3 e si aggiunga 1.

Volendo rappresentare questo algoritmo in termini algebrici avremo:

La congettura di Collatz afferma che, a prescindere dal numero di partenza, l'algoritmo giunge sempre a termine, cioè, detto in parole povere, arriva sempre a 1.

Se per esempio partiamo da n = 6 avremo la seguente successione: 6; 3; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1.

Applicando l'algoritmo si avrà infatti:

6; 6 : 2 = 3; 3 x 3 + 1 = 10; 10 : 2 = 5; 3 x 5 + 1 = 16; 16 : 2 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1.

Anche in questo caso è possibile esprimere il tutto in maniera formale utilizzando la simbologia matematica:

e si legge "Per ogni numero n maggiore di zero appartenente all'insieme dei numeri naturali esiste un numero i appartenete allo stesso insieme tale che se a con zero è uguale a n allora a con i è uguale a 1".

Questo articolo sulle congetture semplici non dimostrate si chiude qui ma prima di mettere il punto conclusivo vorrei solamente porre l'accento sulle magnificenze del linguaggio matematico che, a tratti, anche in questo scritto ci è venuto in aiuto; si tratta di uno splendido esempio di sintesi e al tempo stesso di rigore logico. E' capace di riassumere, facendo uso di pochi simboli, concetti che, se scritti in una qualunque lingua, richiederebbero a volte un gran numero di parole; non è fantastico?