Prodezza di un genio precoce - la somma dei primi cento numeri

 

Tutti coloro che hanno occupato un banco di scuola conoscono o almeno ricordano il nome di Carl Friedrich Gauss, colui che è definito il "Principe dei matematici", genio indiscusso vissuto a cavallo tra il XVIII e il XIX secolo; egli si distinse non solo nel campo della matematica ma anche in quelli della fisica e dell'astronomia.

Forse però non tutti sanno che era un bambino prodigio e mostrò fin dalla tenera età notevoli capacità nel risolvere i problemi; oggi, innamorati della lingua inglese, diremmo che era abile nel problem solving. A proposito delle prodezze del giovane talento, circola una storiella che, nelle sue numerose versioni, ha ormai acquistato le caratteristiche di una vera e propria leggenda; si narra che, quando aveva otto o nove anni, benché fosse altamente dotato, il giovane Carl si comportasse in maniera discola (che sollievo pensare che anche i geni in fondo sono umani) e per questo, a scuola, il suo maestro un giorno, invece di punirlo mettendolo dietro la lavagna, per tenerlo buono gli assegnò il compito di calcolare la somma dei primi cento numeri naturali, convinto che questo esercizio gli avrebbe portato via tempo durante il quale sarebbe stato in silenzio.

Se infatti avesse seguito la strada delle addizioni in successione avrebbe dovuto procedere come segue:

1 + 2 = 3; 3 + 3 = 9; 9 + 4 = 13; 13 + 5 = 18 e così via fino a 100 che sarebbe stato l'ultimo addendo.

Ma, con sommo disappunto del maestro, il bambino gli presentò la soluzione quasi istantaneamente: "Signor maestro la somma dei primi cento numeri è 5050". Ma come diavolo aveva fatto?

Il piccolo Gauss si era reso conto che se si incolonnano una certa quantità di numeri in ordine crescente con la stessa quantità in ordine decrescente, sommando i due termini di ogni colonna si ottiene sempre la stessa somma. Di seguito è riportato un esempio dove, per semplicità, vengono considerati i primi dieci numeri:

Come si vede, la somma del primo numero con l'ultimo che vale 11 è uguale alla somma del secondo con il penultimo, del terzo con il terzultimo e così via.

A Gauss, per risolvere il problema, bastava sommare 1 + 100 = 101 e moltiplicare tale valore per il numero di addizioni eseguite che naturalmente erano 100/2 cioè cinquanta:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... (50 + 51) = 101 x 50 = 5050 

E così il gioco era fatto!

Dal ragionamento che sta alla base della risoluzione di questo problema si ricava una formula generale valida per calcolare la somma di tutti i numeri da 1 a n (con n che è un numero naturale) qualunque sia il valore di n:

E' evidente che il risultato ottenuto da questa formula sarà sempre un numero intero in quanto se n è pari n/2 sarà un valore intero e se n è dispari allora n + 1 è pari e allora (n +1)/2 sarà intero.  

Se, per esempio vogliamo calcolare la somma dei primi trenta numeri basterà applicare la seguente formula:

Eppure nemmeno l'alunno modello poteva immaginare che la sua formula potesse essere adoperata per determinare una tipologia di numeri di cui si erano interessati i matematici greci, i numeri triangolari. Un numero si dice "triangolare" quando, rappresentandolo con una quantità di puntini corrispondente al proprio valore, è possibile costruire una figura triangolare in cui la base è formata da n puntini, il livello superiore da n - 1 puntini e così via fino al livello superiore costituito da un solo putino; sono esempi di numeri triangolari 1, 3, 6, 10, 15, 21 perchè si possono rappresentare nel seguente modo:

Volendo per esempio ottenere il numero 21 con la formula di Gauss si procede come segue:

 

In questo caso ovviamente n = 6 ed n + 1 = 6 + 1 = 7.

Esiste anche una formula per determinare se un certo numero n appartenente all'insieme dei numeri naturali è un numero triangolare:

Se m è un valore intero allora n è l'm-esimo numero triangolare. Volendo per esempio dimostrare che 15 è il quinto numero triangolare si procede così:

 

E' chiaro che solo un talento precoce come Gauss all'età di otto anni era in grado di risolvere in pochissimo tempo un problema come quello della soma dei primi cento numeri effettuando un ragionamento straordinario per un bambino di scuola primaria. Ciò nonostante questa storiella ci dice molto sulla necessità di stimolare, fin dalla più tenera età, la capacità di affrontare e risolvere problemi.

Stando a quanto rivelano le numerose prove di valutazione interna ed esterna che vengono effettuate nei vari ordini di scuola, il problem solving è proprio il tallone di Achille dei nostri ragazzi, abilissimi se chiamati ad applicare algoritmi preconfezionati ma carenti quando si tratta di costruirli con il ragionamento logico.