Cinque in uno - l'equazione di Dio

 

Si dice che le cose belle sono quelle contraddistinte dalla semplicità perché questa è un requisito fondamentale dell'eleganza. In matematica ci sono formule che, a mirarle, è come stare a guardare un bel dipinto o ascoltare buona musica; ebbene tali costruzioni matematiche sono incontrovertibili esempi di semplicità, non tanto perché contengono calcoli facili da effettuare quanto perché coinvolgono poche variabili che però, appropriatamente combinate, portano alla soluzione di problemi a volte anche molto complessi.

Una di queste formule, nota come Identità di Eulero, è stata addirittura definita da alcuni autori l'equazione di Dio. In realtà non si è sicuri nell'attribuirne la paternità al grande matematico svizzero Eulero ma è certo che risale al XVIII secolo, periodo nel quale il suo genio si impose come il più fulgido e creativo tra tutti i suoi colleghi. 

Sembrerebbe quasi un'ironia del fato che nell'epoca dei lumi un matematico credente come Eulero abbia concepito o comunque dato lustro a una formula che poi sarebbe stata definita "l'equazione di Dio", ma credo che tutto ciò sia casuale e non il frutto di un disegno preordinato.

Ma quale forma ha questa identità e perché è così particolare da meritare una definizione così importante? Innanzitutto vediamone la struttura:

Questa scaturisce da un'altra identità:

Quando si pone , dal momento che 

ne deriva che 

Applicando a quest'ultima formula la legge del trasporto si arriva alla forma definitiva che è quella riportata sopra in caratteri grandi. La formula  venne dimostrata dai matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre in maniera indipendente seguendo procedimenti diversi; tale dimostrazione, che richiede conoscenze matematiche avanzate, non sarà oggetto di questo articolo.

La caratteristica distintiva di questa formula (anche se definita "equazione di Dio" in realtà, non essendoci un'incognita, siamo in presenza di una identità) è che contiene solo cinque elementi ma tutti di estrema importanza per la matematica e non solo:

- e: la base dei logaritmi naturali

- i: l'unità immaginaria

- π: il pi greco

- 1: il numero uno 

- 0: lo zero

Vediamo di spendere qualche parola per ciascuno di questi elementi dal momento che si tratta di entità che hanno fatto la storia della matematica.

"e", detto anche numero di Nepero, costituisce la base dei logaritmi naturali e scaturisce dal limite per n che tende a infinito della successione ${\displaystyle (1+1/�{)}^{�}}$:

Si tratta di un numero irrazionale trascendente il cui valore approssimato alla dodicesima cifra decimale è . La sua importanza travalica lo studio della matematica pura avendo importanti implicazioni in altri campi quali ad esempio la fisica e non solo: riveste infatti un ruolo fondamentale nello studio del decadimento radioattivo, della crescita di una popolazione, della diffusione di un'epidemia e di problemi a carattere economico.

"i" è la cosiddetta unità immaginaria in quanto scaturisce dalla soluzione di una semplice equazione che però non ammette radici nel campo dei numeri reali:

x² + 1 = 0

Applicando anche in questo caso la legge del trasporto si ottiene

x² = - 1

e non bisogna essere matematici provetti per sapere che nessun numero reale (positivo o negativo) elevato alla seconda potenza può dare un numero negativo come - 1 in quanto non esiste alcun numero reale che sia il risultato di. Tale risultato viene posto uguale a i introducendo l'insieme dei numeri complessi. Tali numeri trovano applicazioni nella fisica riguardante la dinamica dei fluidi, in ingegneria meccanica per la risoluzione di equazioni differenziali riguardanti il moto vibratorio dei sistemi meccanici e in ingegneria elettrica per rappresentare lo sfasamento tra reattanza e resistenza. 

Del "π" (pi greco) e delle sue implicazioni extra-matematiche si è parlato in un presedente articolo pubblicato su questo blog (*); esprime il rapporto esistente tra la lunghezza di qualsiasi circonferenza e quella del proprio diametro. Le sue applicazioni in matematica sono innumerevoli tanto che costituisce la più famosa tra tutte le costanti matematiche.

Il numero "1" è l'unità fondamentale per mezzo della quale si può ottenere qualsiasi numero naturale aggiungendola al precedente ricordando che, in base a uno degli assiomi di Peano, ogni numero naturale ha un numero naturale successore. 

Lo "0" rappresenta una delle più grandi conquiste nella storia della matematica; alla sua scoperta si deve lo sviluppo del sistema di numerazione decimale posizionale che oggi viene adoperato praticamente in tutto il mondo. Si crede sia stato partorito dalla mente di un matematico indiano chiamato Brahamagupta vissuto nel VII secolo dopo Cristo anche se questo compare pure nel sistema di numerazione maya. A Brahmagupta si riconosce comunque il merito di aver inserito lo zero come elemento di demarcazione tra i numeri negativi e quelli positivi. 

Dal momento che lo zero esprime una quantità inesistente questo è stato spesso paragonato al nulla in filosofia e al concetto di vuoto in fisica; in realtà lo zero è molto più di ciò proprio grazie a Brahmagupta che, considerandolo a tutti gli effetti un numero, gli dà un valore superiore a qualsiasi numero negativo spazzando via il concetto che questo esprima esclusivamente la mancanza di una quantità perché non è possibile che un "niente" sia maggiore di un "ente".

Oggi i numeri negativi sono fondamentali in algebra, in fisica, utilizzando la scala di temperatura espressa in gradi Celsius che usiamo abitualmente, individuano le temperature più basse di quella del ghiaccio fondente dove si colloca lo zero mentre in geografia caratterizzano le profondità subacquee essendo l'altitudine zero corrispondente al livello del mare.

In conclusione voglio riportare i risultati di un esperimento condotto su quindici matematici che sono stati sottoposti alla visione di sessanta formule tra cui l'identità di Eulero; essendo durante l'esperimento monitorata l'attività cerebrale, è stato dimostrato che proprio questa identità attivava maggiormente quelle aree del cervello associate alle esperienze di bellezza visiva e musicale. 

Così come il rapporto tra circonferenza e diametro espresso dal pi greco anche l'identità di Eulero evoca considerazioni che vanno oltre quelle a carattere strettamente matematico; ci troviamo di fronte a un qualcosa che esprime armonia a tal punto da suscitare emozioni positive alla stregua di un'opera d'arte che però non necessita dell'intenditore profondo per coglierne l'intrinseca bellezza: la matematica, anche se da taluni detestata, è patrimonio di tutti e tutti noi ce ne serviamo ogni giorno in una miriade di attività che sono diventate imprescindibili al punto che la loro mancanza è ormai incompatibile con il nostro vivere quotidiano. 

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(*) https://profmurante.blogspot.com/2023/08/molto-piu-di-un-numero-il-tra.html