Vacanze sicure all'Hilbert Hotel - quattro passi nell'infinito con il profeta Isaia

 

Vi è mai capitato di partire per un weekend senza prenotare e ricevere la brutta sorpresa di trovare tutti gli alberghi pieni per cui siete stati costretti a tornare indietro oppure a dormire in auto o alla stazione ferroviaria? Se siete incappati in questa sventura evidentemente nella città meta del vostro incauto e sfortunato fine settimana non era presente un albergo appartenente alla catena degli Hilbert Hotel altrimenti avreste certamente trovato ad accogliervi un albergatore disponibile ad offrirvi una confortevole camera.

Ma esiste una simile tipologia di hotel in grado di soddisfare sempre e comunque qualsiasi cliente in arrivo? In realtà purtroppo la risposta è negativa in quanto l'Hilbert Hotel è solamente una costruzione ideale inventata dal matematico inglese David Hilbert che affronta in modo molto interessante e simpatico il concetto di infinito.

Nella fantasia dell'autore l'Hilbert Hotel è un complesso alberghiero dotato di infinite stanze che, seppure dovessero essere tutte occupate, non rifiuta l'accoglienza a nessun nuovo potenziale ospite. Se per esempio ne dovesse arrivare uno all'improvviso basterà spostare il cliente della stanza N.1 nella stanza N.2, quello della N.2 nella N.3 e così via; naturalmente l'ultimo arrivato sarà sistemato nella stanza N.1 rimasta vuota.

 

Ciò è matematicamente possibile dal momento che ∞ + 1 = ∞, cioè se aggiungiamo 1 a una quantità infinita il risultato sarà, anche da un punto di vista intuitivo, uguale alla quantità stessa.

A questo punto vi starete chiedendo se invece dell'arrivo di un solo ospite ne dovessero giungere tanti contemporaneamente, magari una comitiva di infiniti nuovi clienti, quale stratagemma dovrebbe adottare l'albergatore dell'Hobert Hotel per tenere fede alla sua fama di non rimandare indietro mai nessuno? Tranquilli, è tutto sotto controllo! E' possibile infatti liberare infinite stanze semplicemente spostando gli infiniti clienti già presenti nelle stanze pari che sono, naturalmente, a loro volta infinite; così facendo si libererebbero tutte le stanze dispari che sono anch'esse infinite a disposizione della comitiva degli infiniti nuovi arrivati.

Anche questa azione è matematicamente realizzabile dal momento che quando parliamo di grandezze infinite come l'insieme dei numeri naturali non vale la stessa regola che governa gli insiemi con un numero finito di elementi secondo cui una determinata parte, definita sottoinsieme proprio, ha sempre una cardinalità (la quantità di elementi in essa contenuta) inferiore a quella dell'insieme cui appartiene.

Per l'insieme  dei numeri naturali, che invece ha una cardinalità infinita, una parte (per esempio il sottoinsieme dei numeri pari) può avere la stessa quantità di elementi dell'intero insieme: in parole povere i numeri sono infiniti ma anche i soli numeri pari lo sono.

Sembra che con quest'ultima performance si siano esaurite le straordinarie capacità dell'Hilbert Hotel ma non è così; se invece di una singola comitiva formata da infiniti clienti arrivano infinite comitive composte da infiniti potenziali ospiti cosa succede?

L'Hilbert Hotel manda via tutti? NEMMENO PER SOGNO!!! Anche in un caso simile questa fantastica struttura è attrezzata per confermare il suo motto "Mai rimandare nessuno indietro".

Anche se le cose sono evidentemente più complicate rispetto alle situazioni precedenti il nostro geniale albergatore saprà risolvere lo stesso il problema e trovare una stanza per tutti. Partendo dallo schema sottostante, vediamo come si articola la soluzione.

I primi due ospiti già presenti in albergo conservano le loro stanze, quello che occupava la N.3 si sposta nella N.4, quello della N.4 nella N.7, quello della N.5 nella N.11 e via di seguito secondo la seguente formula:

dove N_n è il numero della nuova stanza nella quale è stato spostato un cliente, N_n-1 è il numero della nuova stanza precedente occupata da un cliente già in albergo e spostato all’arrivo delle nuove comitive e P_n è il numero della vecchia stanza occupata dal cliente che è stato spostato nella stanza N_n. Per esempio il cliente che, prima dell'arrivo delle infinite comitive, occupava la stanza N.5 (P_n) si sposterà nella stanza N.11 (N_n) perché l'ospite che occupava la stanza precedente, la N.4, si è spostato nella stanza N.7 (N_n-1) verificando quindi l'uguaglianza 11 = 7 + 5 - 1. 

Così facendo, per l'infinita comitiva rossa si liberano le stanze N.3, N.5, N.8, N.12, ..., per la comitiva verde le stanze N.6, N.9, N.13, ..., per quella arancione le stanze N.10, N.14, ..., e così via.

L'esempio dell'Hilbert Hotel ci proietta in una dimensione affascinante, quella dell'infinito, dove valgono leggi diverse da quelle che regolano il mondo abitato da noi poveri e limitati mortali e tutto ciò mi porta a riflettere sul fatto che se il credente associa a Dio il concetto di infinito quanto appena detto riguardo regole diverse per ciò che è illimitato rispetto a ciò che non lo è mi porta a riconsiderare e rileggere sotto una nuova luce quel passo della Bibbia dove è scritto: 

"Perché i miei pensieri non sono i vostri pensieri,
le vostre vie non sono le mie vie - oracolo del Signore."  

(Isaia 55, 8)

E' come se la matematica dell'infinito, studiata in maniera approfondita più di due millenni dopo la stesura del Libro di Isaia, voglia fornire una conferma alle parole del profeta, ponendo un confine pressoché invalicabile tra le vie del Signore, perfette e illimitate, e quelle degli uomini, imprecise, fallaci e destinate a vedere una conclusione.

Forse la matematica è un dono con il quale il Creatore vuole farci capire che al di sopra di noi c'è un mondo che possiamo solo intuire, forse in minima parte comprendere, ma che resta fondamentalmente irraggiungibile fino a quando non ci libereremo dei limiti imposti dalla nostra condizione di esseri degni ma sostanzialmente imperfetti. Naturalmente in quel mondo di perfezione assoluta le regole e le leggi concepite dall'uomo dovranno necessariamente cedere il passo a quelle infinitamente (notare l'avverbio) più alte concepite da Colui che è, per dirla con il Sommo Poeta, la causa prima di quell'amor che move il sole e l'altre stelle.

Permettetemi però di concludere questo articolo in modo leggero dicendo che se l'argomento affrontato vi è sembrato piuttosto ostico dal punto di vista matematico spero almeno che una lezione l'abbiate imparata: quando si va in vacanza è sempre bene prenotare 😂😂😂.