I numeri della pandemia – la matematica del Covid

Di certo gli anni venti del terzo millennio saranno ricordati nei libri di storia come “gli anni del Covid”. Un evento inatteso e imprevedibile (fino ad un certo punto) ha indubbiamente sconvolto le nostre vite costringendoci a cambiare radicalmente le nostre abitudini e condotta di vita.

Da oltre due anni non c’è un notiziario che nel suo palinsesto non preveda servizi riguardanti l’andamento del contagio; una delle conseguenze è che spesso, quando si parla del Covid 19, si sente parlare di indici matematici che sono conosciuti solo di nome ma di cui il grande pubblico non sempre è in grado di valutarne il significato.

 

I mass media hanno insistito su indicatori quali R0 e Rt per provare a spiegare l’andamento di quella che nelle sue prime fasi era una epidemia originatasi a Wuhan, megametropoli della moderna Cina in pieno boom economico, ma che poi, alla velocità della luce, si è diffusa a macchia d’olio in tutto il mondo trasformandosi in pandemia.

 

Il diffondersi della malattia causata dal virus, una polmonite molto grave dalle conseguenze spesso fatali, ha fatto si che i riflettori del mondo si puntassero su figure normalmente abituate a lavorare nell’immacolato e salutare silenzio dei loro laboratori e dei loro studi; virologi ed epidemiologi sono diventati (a volte loro malgrado, altre con immenso piacere) vere e proprie star da invitare nei talk show televisivi per aggiornare il pubblico sullo stato della ricerca e delle misure messe in atto per far fronte all’emergenza sanitaria.

 

 

Ovviamente questi professionisti, pur cercando di rendere l’argomento accessibile a tutti, non hanno potuto fare a meno di menzionare indici matematici che costituiscono, lavorativamente parlando, il loro pane quotidiano.

Per questi ricercatori la matematica è un potente strumento di indagine che viene a supporto fornendo una serie di informazioni vitali in grado di condizionare le scelte che, inevitabilmente, devono essere prese non solo in ambito sanitario ma anche a livello politico.

Uno degli indici che è stato più volte ripreso dai mezzi di comunicazione di massa è quello che viene definito R0, o numero di riproduzione di base (oppure coefficiente riproduttivo), che indica, all’inizio dell’epidemia, quanti nuovi casi sono mediamente generati ogni giorno da un individuo infetto durante tutto il periodo in cui egli è contagioso.

Si tratta di un dato statistico importantissimo in quanto permette di acquisire, nelle prime fasi dell’epidemia, informazioni sulla velocità di diffusione del virus fondamentali per elaborare un appropriato modello epidemiologico, rilevante a sua volta per l’elaborazione di azioni e strategie di contenimento.

Nel caso specifico riguardante il Covid, all’inizio è stato stimato un R0 pari a 2, il che ha comportato una crescita esponenziale(*) dei contagi.

 

 

 

Come si vede dalla figura, partendo dal paziente colorato in rosso (paziente zero), egli infetta due persone ognuna delle quali, a sua volta ne infetta altre due e così via. Se ogni giorno si verifica un contagio, una sola persona, in appena quattro giorni, è in grado di provocare l’infezione di altre sedici.

La funzione matematica che sintetizza una tale situazione è

 

y = 2x

 

Che, tradotta in grafico, mostra il seguente andamento

 

    

 

Non è necessario essere dei matematici per rendersi conto di come piccoli aumenti del valore della variabile x (numero di giorni) comportino grandi incrementi dei corrispondenti valori della y (gli infetti). 

 

Purtroppo non è necessario arrivare a 2 per avere una crescita esponenziale; basta infatti che R0 sia superiore a 1 (tra 1 e 2 ci sono infiniti Numeri Reali) per avere un incremento del genere anche se con una pendenza diversa della curva.

 

 

Una volta superate le prime fasi dell’epidemia, nel momento in cui i governi hanno iniziato a prendere misure per contrastare la crescita dei contagi come i lockdown, il distanziamento e l’imposizione dell’uso dei mezzi di protezione individuali, l’andamento della curva epidemiologica ha inevitabilmente subito una variazione nel senso di un rallentamento, salvo poi subire un’ulteriore inversione quando le misure venivano allentate.

In generale comunque dopo la fase iniziale caratterizzata da una crescita esponenziale l’indice R0 si è attestato intorno al valore di 1, cosa che nella rappresentazione grafica della linea ha dato luogo ad un punto di flesso, cioè un punto in cui si inverte la concavità della curva.

 

 

L’andamento si è tradotto allora in una curva definita “logistica” che alla prima fase caratterizzata dalla crescita esponenziale, ne fa seguire una più lenta di tipo logaritmico per poi col tempo assumere una posizione asintotica, cioè rappresentare una crescita praticamente pari a zero.

Questa funzione inoltre ci permette di osservare come la presenza dei guariti e (purtroppo) dei morti che determina una diminuzione dell’indice R0 contribuisca al rallentamento, stabilizzazione e ridimensionamento del fenomeno epidemico.

 

Purtroppo però il modello logistico non è sufficientemente esauriente dal momento che, sebbene riesca a cogliere situazioni importanti come il rallentamento e l’assestamento dei contagi, non prevede possibili regressioni o nuove crescite esponenziali. Per questo motivo gli epidemiologi hanno reputato opportuno ricorrere al altri modelli che potessero fornire dati circa la possibilità di prevedere l’andamento futuro della malattia.

Un modello piuttosto adoperato è quello SIR che divide la popolazione in tre categorie:

 

1. S = sani, che sono suscettibili ad ammalarsi

2. I = infetti

3. R = recuperati, cioè coloro che non possono più essere infettati (guariti o deceduti);

 

queste sono raggruppate nello schema seguente.

 

 

Il modello utilizza equazioni differenziali e si basa sulle “leggi di azione di massa” che descrivono la cinetica delle reazioni chimiche; solo a titolo di esempio, ecco una delle equazioni che descrive la variazione nel tempo delle persone suscettibili:

 

 

Solo a titolo di esempio, nella prima equazione si vede che il numero dei sani diminuisce nel tempo (segno negativo al secondo membro dell’equazione) in proporzione al numero di essi che entrerà in contatto con gli infetti che rappresentano una certa percentuale dell’intera popolazione (N); le costanti r e β rappresentano rispettivamente il numero medio di contatti che ogni persona ha con il resto della popolazione e la probabilità di infettarsi dopo il contatto con un positivo.

In questo modello si ha che:

 

 

dove a r e β si aggiunge la costante γ, già presente nella seconda e terza equazione, che rappresenta il “tasso di recovery” cioè la velocità con cui si passa dalla condizione S a quella R.

A questo proposito si può anche dire qualcosa sulla famosa “immunità di gregge”, legata al fenomeno dell’effetto gregge che si manifesta quando una considerevole fetta della popolazione si trova nella fase R, cioè quando un infetto ha poche occasioni di incontrare un suscettibile e diventerà a sua volta un recuperato senza trasmettere la malattia.

Un esempio di grafico SIR è quello di seguito riportato:

 

 

In esso si vedono due curve; la prima curva (blu) presenta tre fasi, la prima esponenziale, la seconda corrispondente al picco e la terza che segna l’arresto dei contagi (R0 < 1). La seconda curva (verde e rosa) è quella dei casi risolti e mostra una situazione in cui i guariti riescono a mantenersi sani perché immunizzati o per il distanziamento sociale o grazie alla vaccinazione.  

 

Nel corso del tempo all’indice R0, fondamentale come abbiamo visto nelle prime fasi dell’epidemia, si è aggiunto l’indice Rt, esprimente concettualmente lo stesso valore del precedente con la differenza che, invece di essere determinato nelle prime fasi, dove il virus si propagava in maniera incontrollata per l’assenza di provvedimenti sanitari, ma successivamente, ha costituito un importante marker dell’efficacia delle misure di contenimento che nel frattempo sono state messe in atto.

 

Tale indice Rt tuttavia non può essere l’unico parametro da tenere presente nelle valutazioni e nelle decisioni importanti dal momento che viene calcolato tenendo conto solo dei soggetti sintomatici; tale procedura è giustificata dal fatto che in questo modo lo si può determinare con criteri che possono ritenersi stabili nel tempo dal momento che la popolazione degli asintomatici è molto difficile, se non impossibile, da stimare in maniera precisa. Infatti in una situazione di emergenza che inevitabilmente provoca una consistente pressione sul sistema sanitario, il lavoro di screening da operare su una determinata popolazione, indispensabile per individuare anche gli eventuali positivi asintomatici, non può essere portato avanti con quei criteri di precisione imprescindibili per ricavare dati attendibili.

 

E’ inoltre importante sottolineare come l’aumento dell’indice Rt in certe situazioni ha provocato ingiustificati allarmismi laddove provocato da un modesto rialzo dei contagi in quelle zone con un basso numero totale di casi e, quindi, con scarsa pressione sulle strutture sanitarie, mentre, di contro, in altre località che registravano un cospicuo aumento dei contagi però stabile nel tempo, questo rimaneva pressoché invariato.

 

Tutto ciò dimostra, qualora ce ne fosse bisogno, che per quanto si vogliano usare strumenti matematici potenti e sofisticati per monitorare e prevedere l’andamento di un fenomeno che coinvolge le scienze della vita ci si deve arrendere di fronte al fatto che anche i più complessi modelli matematici non sono altro che la semplificazione di una realtà estremamente più complessa che non può essere esplorata nella sua totalità dal momento che sono talmente tante le variabili che entrano in gioco da rendere praticamente impossibile la realizzazione di un impianto che le possa gestire tutte contemporaneamente e con assoluta precisione.

Io credo che questo però non costituisca un limite ma una condizione necessaria per mantenere quella giusta distanza tra la biologia e le scienze di primo livello come la matematica la fisica degli esperimenti riproducibili nelle quali quasi tutto è dimostrabile, compresa l’indimostrabilità. Un accorciamento di tale distanza potrebbe essere, per motivi facilmente immaginabili, estremamente pericoloso.  

 

 

 

(*) A tale proposito si consiglia la lettura dell’articolo “Scacchi e biologia - la crescita esponenziale dei batteri” pubblicato in questo blog il 28 gennaio 2022