Come acqua e olio - l’illusione di conciliare matematica e politica

 

Il teorema di Pitagora è certamente la legge più famosa della matematica; le sue applicazioni trovano spazio in numerosissime branche di questa disciplina con ricadute nella pratica quotidiana che neppure immaginiamo, dall’edilizia alla cartografia solo per citare qualche esempio.

Il suo enunciato recita: “In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

In realtà questa regola era già conosciuta dai Babilonesi nel XVII secolo a.C. cioè circa 1000 anni prima dell’epoca in cui sarebbe vissuto Pitagora; a dimostrarlo il ritrovamento di alcune tavolette risalenti a quel periodo in cui figurano gruppi di numeri appartenenti a quelle che in seguito furono definite terne pitagoriche.

Il merito del grande matematico greco non sarebbe stato quindi la sua scoperta bensì, cosa ritenuta ancora più importante, la sua dimostrazione. Infatti, quando le conoscenze matematiche si trasferirono dal mondo mesopotamico ed egizio verso la Grecia questa disciplina, adoperata fino ad allora essenzialmente per scopi pratici, compì un salto di qualità diventando un esercizio con cui allenare le capacità razionali della mente umana.

All’epoca infatti la pratica della matematica in nulla si discostava da quella di altre discipline come la filosofia essendo queste attività accomunate dal fatto di essere considerate il prodotto più alto dell’intelletto umano.

Esistono centinaia di dimostrazioni del Teorema di Pitagora, anche se, a livello di scuola superiore, si preferisce quella che sfrutta il primo teorema di Euclide. Tra le tante rimanenti, una merita una menzione particolare perché elaborata in maniera semplice ma al tempo stesso geniale da un personaggio che non era un matematico di professione, il XX Presidente degli Stati Uniti James Garfield; in realtà questa dimostrazione risale al periodo in cui era ancora deputato al Congresso e magari lo fosse rimasto perché solo qualche mese dopo l’insediamento alla Casa Bianca fu vittima di un attentato e morì il 19 settembre 1881.

L’ingegnoso ragionamento di Garfield si basa sulla costruzione di un particolare trapezio rettangolo ottenuto a partire da due triangoli rettangoli uguali disposti in modo che due angoli acuti coincidano e gli altri due siano uniti da un segmento che costituisce il lato obliquo del trapezio e l’ipotenusa di un terzo triangolo rettangolo che è anche isoscele in quanto formato da due cateti uguali che costituiscono le ipotenuse dei primi due triangoli rettangoli (la dimostrazione che anche questo terzo triangolo è rettangolo, sebbene molto semplice, la tralascio per brevità).

Dal momento che l’area di un trapezio è determinata dalla formula

dove B è la base maggiore, b è quella minore e h l’altezza; nel caso del trapezio costruito da Garfield la precedente formula diventa

In quanto la somma delle basi è uguale alla somma dei cateti a e b dei due triangoli e parimenti l’altezza. Al numeratore della frazione viene quindi a trovarsi il quadrato di un binomio a + b che è uguale ad a² + b² + 2ab. Possiamo allora scrivere

Esiste però anche un altro modo per determinare l’area del trapezio in questione sommando le aree dei tre triangoli da cui è formato:

in cui la frazione ab/2 ripetuta due volte rappresenta le aree dei primi due triangoli rettangoli e c²/2 è l’area del triangolo rettangolo isoscele i cui due cateti sono uguali a c.

Possiamo a questo punto uguagliare le due formule dal momento che rappresentano la stessa area:

Dal momento che

l’uguaglianza precedente diventa

Applicando il primo principio di equivalenza delle equazioni possiamo eliminare la quantità  (2ab/2)  da ambo i membri e ciò che rimane è

 

Moltiplicando per 2 a sinistra e a destra dell’uguale in accordo con il secondo principio di equivalenza delle equazioni ciò che resta è

a² + b² = c²

che corrisponde proprio all’enunciato del teorema di Pitagora.

Garfield commentò la sua dimostrazione con le seguenti parole: "Pensiamo che con questa dimostrazione matematica possiamo trovare d’accordo tutti i deputati, indipendentemente dal loro credo politico". Però la politica è un mondo che non si basa sulla logica e la razionalità, ma sull’emotività, l’interesse personale o di parte e purtroppo spesso anche sul tradimento e l’inganno e Garfield, che aveva cercato, una volta diventato presidente, di combattere la corruzione pagò con la vita le sue azioni. 

D'altra parte che matematica e politica non sono mai andate d'accordo lo dimostra il fatto che lo stesso Pitagora, almeno stando alla leggenda, sarebbe stato osteggiato in maniera violenta dai suoi avversari politici. Evidentemente un certo modo di fare politica è gestito da soggetti i quali temono coloro che usano veramente la testa perché questi ultimi non sono manipolabili. E non c'è bisogno di aggiungere altro. 

PS. Questo argomento è stato trattato anche in un video pubblicato sul mio Canale YouTube dal titolo "Pitagora e il Presidente"; ecco il link:  https://www.youtube.com/watch?v=J5DnOUh5CJY&list=PLAeCrT1guIY8ujE_iZCnJODWI8S-JmPVp&index=12