Geometria e strategia militare - il Teorema di Napoleone

Tutti conoscono Napoleone Bonaparte (nato con il cognome originale Buonaparte di evidenti origini italiane) come un genio militare che poi ebbe il coraggio e l'ardire di operare una scalata al potere che lo portò fino al titolo di Imperatore dei francesi. Non molti sanno che egli fu anche un profondo conoscitore della matematica in generale e della geometria in particolare fino al punto di elaborare una serie di costruzioni da realizzare con l'ausilio del solo compasso: gli si attribuiscono la determinazione del punto medio tra due punti estremi, l'individuazione dei quattro vertici di un quadrato iscritto in un cerchio e quella del centro di una circonferenza, questione, quest'ultima, nota come Problema di Napoleone.

 

Ma in campo matematico la sua più grande scoperta resta quella regola che ancora oggi porta il suo nome ed è nota come Teorema di Napoleone; questo teorema afferma che "i baricentri dei triangoli equilateri, costruiti tutti esternamente o tutti internamente sui lati di un triangolo qualsiasi, formano un triangolo equilatero".

A partire dal triangolo ABC, si costruiscono sui lati AB, AC e BC tre triangoli equilateri che sono rispettivamente ABZ, ACY e BCX; se si uniscono i loro baricentri N, M e L a formare un nuovo triangolo (in verde), questo è ancora un triangolo equilatero.

La sua dimostrazione si basa su un ragionamento che porta alla conclusione che gli angoli interni del triangolo NML sono tutti e tre di 60° il che può voler dire solo che tale triangolo è equilatero, ma, per la sua complessità, non la riporto in questo articolo.

L'argomento "Teorema di Napoleone" è inoltre legato alla determinazione della posizione del Punto di Fermat-Torricelli che minimizza la distanza complessiva da tutti e tre i vertici di un triangolo; se l'angolo più ampio non supera i 120° questo può essere individuato dall'intersezione dei tre segmenti che si ottengono congiungendo ogni vertice del triangolo con il vertice, non appartenente al triangolo, del triangolo equilatero costruito esternamente sul lato opposto. 

Il Teorema di Napoleone porta anche alla determinazione di un altro punto, quello ricavato dall'intersezione dei tre segmenti che congiungono i vertici del triangolo equilatero finale con gli angoli opposti del triangolo originale, detto punto di Napoleone, con proprietà ancora da studiare ma che pare sia stato oggetto di attenzione da parte del grande stratega che ne avrebbe fatto uso durante le sue ultime battaglie. 

C'è chi afferma che questo teorema e le altre "conquiste geometriche" di Napoleone siano, in realtà, il prodotto degli studi di Lorenzo Mascheroni, illustre matematico italiano incontrato nel 1796 durante la Campagna d'Italia; l'allora Generale Bonaparte ricevette da questi in dono una copia del suo libro "La Geometria del compasso" con tanto di dedica a "Bonaparte Italico". 

 

Al suo ritorno in patria Napoleone, entusiasta, mostrò il trattato a Joseph-Louis Lagrange (vero nome Giuseppe Luigi Lagrangia) e Pierre-Simon Laplace il quale commentò: «Nous attendions tout de vous, Général, excepté des leçons de Matématiques» (Ci saremmo aspettati tutto da Voi, Generale, tranne che lezioni di Matematica).

Il Teorema di Napoleone è in effetti di uno dei più importanti teoremi sui triangoli enunciati in epoca post greca e l'idea che provenga non da un matematico di professione ma da un soldato seppur dotato di genio ed inventiva è seducente ma può lasciare alquanto perplessi e come minimo dubbiosi. La versione secondo cui Mascheroni avrebbe dedicato un tributo al grande generale lasciando che fossero attribuiti a lui i meriti delle proprie intuizioni è più verosimile ma anche assai meno attraente e soprattutto non esente da scetticismo: pur non conoscendo il carattere di Mascheroni, è credibile che uno scienziato, che di solito ci tiene ad essere riconosciuto dalla comunità per il suo genio, lasci ad un altro sia pur illustre il merito delle proprie scoperte?  

Detto ciò pare proprio che certe manovre di spostamento truppe durante alcune battaglie vinte da Napoleone siano state dettate da considerazioni che non possono prescindere da conoscenze geometriche molto avanzate. 

La stessa Battaglia di Austerlitz, ritenuta unanimemente dagli storici il grande capolavoro strategico di Napoleone, sembra sia stata condotta al successo mediante l'applicazione del Problema di Napoleone, tanto che qualcuno addirittura parla del Teorema di Austerlitz: le truppe francesi condussero una manovra di accerchiamento secondo uno schema prevedente una circonferenza, dapprima aperta verso il nemico, che poi si sarebbe stretta chiudendolo verso un punto scelto dal grande stratega con la previsione, confermata poi dai fatti, che ciò gli avrebbe procurato un vantaggio decisivo. 

Nella figura sopra, a sinistra c'è lo schema classico elaborato dagli storici della guerra con i movimenti delle truppe (in blu i Francesi e in rosso i Russi), a destra l'elaborazione geometrica schematizzata di tali movimenti; anche ad un occhio profano come può essere il mio o quello di molti lettori appare evidente la manovra che avviene secondo movimenti che descrivono circonferenze che via via si chiudono attorno a un punto. 

In realtà già molto prima di raggiungere i gradi di generale il giovane Napoleone si era rivelato un asso della guerra e in particolare un formidabile artigliere; egli aveva avuto come insegnante Gaspard Monge, l'ideatore della geometria descrittiva. Le sue conoscenze nel campo della trigonometria sferica e della balistica gli permettevano di puntare il cannone meglio di chiunque altro. Si può quindi dubitare circa la paternità delle scoperte a lui attribuite ma non del fatto che fosse un profondo conoscitore della geometria.  

Napoleone Bonaparte è, nella storia, uno dei personaggi più amati da alcuni e, al tempo stesso, odiati da altri. Nessuno come lui ha saputo suscitare sentimenti contrastanti tra contemporanei e posteri a cui il Manzoni affida l'ardua sentenza di decretare se la sua fu vera gloria. 

In ogni caso, da appassionato di matematica, pur deplorando senza mezzi termini la guerra, ammetto che mi affascina l'idea di quei rai fulminei (altra splendida citazione Manzoniana per descrivere i suoi occhi) intenti a scrutare l'orizzonte per poi calcolare, durante una battaglia, le traiettorie ottimali per il tiro dei cannoni e le direzioni da far prendere alle proprie armate per eseguire perfette manovre di accerchiamento, il tutto sulla base dei principi espressi dalla regina delle scienze, la matematica.