La Matematica del Mare

 

Il mare, vasta distesa blu che ricopre gran parte del nostro pianeta, come ho già scritto nel precedente articolo dedicato alla sua chimica, è molto più di una semplice massa d'acqua. È un sistema dinamico complesso, un intricato balletto di forze e interazioni governato da precise leggi matematiche. Dalle maestose onde che si infrangono sulle coste alle invisibili correnti che modellano i fondali marini, fino agli equilibri delicati che sostengono la vita sottomarina, ogni aspetto dell'ambiente marino è intriso di principi matematici. Questo articolo a carattere divulgativo si propone di esplorare la "Matematica del Mare", citando le equazioni che ne regolano il moto e le dinamiche, e quelle che descrivono le intricate relazioni ecologiche al suo interno, senza scendere nel dettaglio delle complicate regole matematiche che sarebbe necessario conoscere per comprendere a pieno il loro significato. 

Il Moto delle Onde: Sinusoidi e Solitoni 

Le onde marine, con la loro ipnotica regolarità, sono una delle manifestazioni più evidenti della matematica del mare. La loro descrizione si basa principalmente sulle equazioni differenziali.

• L'Equazione delle Onde Lineari: per piccole ampiezze, le onde possono essere approssimate con l'equazione delle onde lineari, derivata dalle equazioni di Eulero per fluidi ideali e dall'equazione di continuità.
• La Teoria delle Onde di Airy: Una formulazione più completa delle onde in acque profonde e poco profonde, ancora nel regime lineare, è data dalla teoria diAiry. Questa teoria predice la velocità di propagazione (c), la lunghezza d'onda (lambda) e il periodo (T) delle onde in funzione della profondità e della gravità, mostrando che la velocità dipende dalla profondità in acque basse e dalla lunghezza d'onda in acque profonde.
• Equazione di Korteweg-de Vries (KdV): Per onde di ampiezza maggiore e in acque poco profonde, gli effetti non lineari e dispersivi diventano significativi. L'equazione di KdV descrive la propagazione di onde lunghe e non lineari, inclusi i solitoni, onde che mantengono la loro forma durante la propagazione.

I Venti e le Correnti Marine: Equazioni di Navier-Stokes e Forze di Coriolis

Il moto dei venti sulla superficie del mare e le complesse dinamiche delle correnti marine sono governati da principi di fluidodinamica, in particolare dalle equazioni di Navier-Stokes, opportunamente modificate per tenere conto della rotazione terrestre.

• Equazioni di Navier-Stokes(*): queste equazioni descrivono il moto dei fluidi viscosi e sono il fondamento per la modellazione dei venti e delle correnti.
• Forza di Coriolis: La rotazione terrestre introduce una "forza apparente" che devia il moto dei fluidi su larga scala. Questa è la forza di Coriolis, essenziale per comprendere i pattern dei venti globali e delle grandi correnti oceaniche. La forza di Coriolis è responsabile dell'effetto Ekman, che spiega come il vento generi correnti superficiali che si muovono con un angolo rispetto al vento stesso, e delle spirali di Ekman.
• Equazioni della Circolazione Oceanica: Per descrivere le correnti oceaniche su larga scala, le equazioni di Navier-Stokes vengono spesso semplificate, tenendo conto della stratificazione della densità, della batimetria e delle forze di Coriolis. Modelli geostrofici, dove l'equilibrio tra la forza di Coriolis e il gradiente di pressione domina, sono fondamentali per la comprensione delle grandi gyres oceaniche.

Gli Equilibri Ecologici nel Mare: Modelli Matematici di Popolazione

Al di là delle dinamiche fisiche, la matematica è cruciale anche per comprendere gli equilibri delicati tra le specie animali e vegetali che popolano il mare. La biologia marina si avvale ampiamente di modelli matematici per studiare la crescita delle popolazioni, le interazioni predatore-preda e la biodiversità.

• Modello di Crescita Logistica: descrive la crescita di una popolazione in un ambiente con risorse limitate.
• Equazioni di Lotka-Volterra (Predatore-Preda)(**): Queste equazioni modellano le dinamiche di interazione tra due specie, una delle quali è predatrice dell'altra e possono spiegare le fluttuazioni cicliche osservate nelle popolazioni di alcune specie marine.
• Modelli di Competizione: Quando due o più specie competono per le stesse risorse limitate, modelli come quelli di Lotka-Volterra estesi o i modelli di competizione di MacArthur possono essere utilizzati per prevedere l'esito della competizione, come la coesistenza, l'esclusione competitiva o la dominanza di una specie sull'altra.
• Matrici di Transizione (Leslie, Lefkovitch): la matrice di Leslie e il modello di Lefkovitch sono utilizzati per studiare la dinamica delle popolazioni strutturate per età o per stadio di vita. Permettono di calcolare tassi di crescita, valori riproduttivi e probabilità di sopravvivenza per diverse classi d'età o stadi di vita, informazioni cruciali per la gestione della pesca e la conservazione delle specie marine.

Conclusioni: Un Oceano di Matematica

La "matematica del mare" è un campo vasto e affascinante che spazia dalla meccanica dei fluidi alla biologia delle popolazioni. Le leggi e i modelli matematici non solo ci permettono di comprendere e prevedere fenomeni complicati come le maree, le onde anomale e i cambiamenti climatici, ma sono anche strumenti indispensabili per la gestione sostenibile delle risorse marine e la conservazione della biodiversità.

Ogni onda che si infrange, ogni corrente che scorre, ogni vita che si sviluppa nelle profondità marine è un'eloquente dimostrazione della pervasività e della potenza della matematica. Studiare il mare attraverso le lenti della matematica è un'avventura intellettuale che continua a rivelare la sua infinita complessità e bellezza.

(*) Le Equazioni di Navier-Stokes costituiscono uno dei “problemi del millennio”, un elenco di sette problemi matematici proposti nel 2000 dal Clay Mathematics Institute di cui uno solo è stato risolto (la congettura di Poincaré); non è mai stato appurato se il problema matematico che esse descrivono è ben posto e non è mai stata determinata una loro soluzione analitica in forma chiusa, tranne in alcuni casi particolari. Il problema è elaborare una teoria matematica che consenta di comprenderle ed analizzarle.  

(**) Le equazioni di Lotka-Volterra sono state oggetto in un precedente articolo pubblicato in questo blog: https://profmurante.blogspot.com/2021/11/corsi-e-ricorsi-nel-mondo-animale-le.html